核心问题

高斯消元把矩阵化成阶梯形，从而暴露秩、主元列和自由变量。它既是求解方程组的算法，也是理解矩阵可逆性和线性相关性的第一条主线。

我的理解

消元的每一步都对应一次可逆的行操作。把过程看成矩阵乘法后，消元矩阵、逆矩阵和 LU 分解就不再是孤立的技巧，而是同一件事的不同记录方式。